Теория вероятностей (семинары Б02-009)

Домашнее задание

Дз 1. Классическая вероятность, геометрическая вероятность.

Дз 2. Условная вероятность.

Дз 3. Схема испытаний Бернулли, независимость событий.

Дз 4. Случайные величины и распределение вероятностей.

Дз 5. Независимость величин, формула свертки.

Дз 6. Матожидание и дисперсия случайной величины.

Дз 7. Характеристическая функция

Дз 8. Гауссовские векторы

Дз 9. Предельные теоремы

Дз 10. Случайные блуждания

Дз 11. Ветвящиеся процессы

Дз 12. Винеровский процесс

Посещаемость и оценки

Посещаемость.

Оценки.

Критерии оценок

Диф. зачёт.
На зачете будут 5 задач и 2 теоретических вопроса.
2 контрольных работы (16 октября и 11 декабря), которые влияют на количество задач на зачете. За первую контрольную можно освободиться от 1 или 2 задач, то же самое на второй контрольной. Освобождение от последней дается за хорошую работу в семестре (т.е. посещаемость, можно пропустить семинар максимум 3 раза без уважительной причины). Количество нерешенных на зачете задач влияет на оценку сверху оценки за экзамен. В случае одной нерешенной задачи максимум отл(8), в случае двух - хор(6), в случае трех - удовл(4), в случае четырех - неуд(2). То есть для положительной оценки должны быть решены хотя бы две задачи. Обратите внимание на то, что на зачете мы будем спрашивать теорию как на экзамене - со всеми доказательствами и доп вопросами.

Программа (может меняться!)

Вероятностное пространство. Элементарные исходы, события, вероятность. Ко- нечное вероятностное пространство, классическая схема. Некоторые основы ком- бинаторики (числа сочетаний, размещений, перестановок) и соответствующие мно- жества элементарных исходов.
Схема Бернулли. Условная вероятность: формула Байеса и формула полной вероятности. Независимость событий. Независимость в совокупности и попарная.
Геометрические вероятности. Задача о встрече.
Аксиоматика Колмогорова: вероятностное пространство. Свойства вероятности.
Борелевская σ-алгебра в R. Понятие распределения и функции распределения. Свойства функции распределения.
Дискретные и абсолютно непрерывные распределения, плотность, примеры.
Многомерные распределения. Борелевская σ-алгебра в Rn, маргинальные распределения. Функция распределения и ее свойства (без доказательства). Дискретные и абсолютно непрерывные распределения.
Многомерные распределения, маргинальные распределения, независимость маргинальных распределений, формула свертки.
Случайные величины, случайные векторы, действия над случайными векторами. Распределения случайных величин и случайных векторов. Независимость и критерий независимости. Теорема Фуббини и свертка распределений.
Математическое ожидание, теорема о замене переменных. Математическое ожидание для дискретного и абсолютно непрерывного случаев. Примеры
Свойства математического ожидания. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин.
Вычисление математического ожидания биномиальной и нормальной случайных величин.
Дисперсия — два эквивалентных определения. Примеры вычисления.
Ковариация.Свойствадисперсиииковариации.Неравенство Коши-Буняковского.
Взаимосвязь ковариации и независимости. Вычисление дисперсии биномиальной и нормальной случайных величин.
Неравенство Маркова, неравенство Чебышева, закон больших чисел в форме Чебышева.
Сходимости почти наверное, по вероятности, в Lp и по распределению и их взаимосвязи. Теорема Александрова (без доказательства). Теорема Лебега о мажорируемой сходимости (без доказательства). Усиленные законы больших чисел (без доказательства).
Характеристическая функция. Вычисление характеристических функций для ос- новных распределений. Свойства. Взаимосвязь со сходимостью по распределению. Центральная предельная теорема.
Локальная, интегральная и пуассоновская предельные теоремы. Формула Стирлинга. Примеры применения предельных теорем.
Характеристическая функция случайного вектора.Критерий независимости в терминах характеристической функции. Гауссовский случайный вектор. Эквивалентные определения и свойства (независимость компонент, параметры распределения).
Виды сходимостей случайных векторов. Взаимосвязь сходимости и покомпонентной сходимости (без доказательства). Многомерная центральная предельная тео- рема (без доказательства) и многомерный закон больших чисел.
Определение простейшего симметричного случайного блуждания. Траектории. Подсчет вероятностей. Принцип отражения. Распределение максимума, вероятность возвращения в 0. Закон повторного логарифма (без доказательства).
Ветвящиеся процессы, производящая функция, вероятность вырождения.
Случайныепроцессыснепрерывнымвременем:определениеиконечномерныерас- пределения. Процессы с независимыми приращениями и гауссовские процессы. Винеровский процесс: два эквивалентных определения (без доказательства). Траектории винеровского процесса и их свойства.
Марковские цепи с дискретным временем. Переходные вероятности. Однородные цепи. Примеры марковских цепей.
Стационарность в узком и широком смысле. Примеры и свойства стационарных процессов.